罗素悖论
令 P(x) 表示 x ∉ x. 也就是说，对 x 而言，如果 P(x) 是真的， 那么 x 就不是自身的元素; 但如果 P(x) 为假，那么 x 就是 x 中的元素。
那么 R 是集合吗？如果是，它的元素是什么？
如果你在考虑 R ∉ R 是否正确， 那就开始走上正轨了。
我们要用到表达式 x ∉ x， 这意味着要对 x 有所选择。
x = R 很自然地成为一个被考察的候选对象， 因为它涉及我们要研究的东西 (并且在分析 中研究是很不错的尝试)。
这里有两种可能的情况：
要么 R 在 R 中， 要么 R 不在 R 中.
• 首先， 假设 R 在 R 中. 由于我们假设 R ∉ R， 并且 R 是由那些不属于自身 的对象构成的， 所以由 R 的定义可知， R ∈ R. 但这是很荒谬的. R ∉ R 和 R ∈ R 怎么可能同时成立呢？因此， 假设 R 在 R 中是错误的.
• 唯一可能的情况是 R 不在 R 中。现在来讨论这种情况。 正如我们已经说过 的， R 是由全体不属于自身的东西构成的集合。我们现在假设 R ∉ R， 但是 从定义上来看， 这正是 R 中元素所满足的条件！同样地， 我们得到了荒谬的 结论， 即 R ∈ R 和 R ∉ R 同时成立. 换句话说， 在任何一种情况下， 我们都得到了奇怪的情形：当 R ∉ R 时恰有 R ∈ R. 这意味着什么呢？这意味着， 我们可以用集合做什么的观念 —— 更具体地说， 我们如何从旧集合中构造新集合的观念 —— 具有致命的缺陷。 这一悖论的解决为现代集合论奠定了基础。 从罗素悖论中可以推出一个结论， 那就是我们无法通过简单地收集具有给定性质的所有对象来形成集合。
幸运的是， 我们在概率论中遇到的绝大多数集合都没有这个问题， 但重要的是意识到潜在的危险， 并且要正确、 认真地理解证明。
事件的概率必然涉及大型集对子集指定概率的问题。但是，没有一种通用的方法可以将概率分配给每个子集，并且使得概率函数满足某些条件。这涉及到巴拿赫-塔尔斯基悖论。
为了防止不能把概率一致地分给所有可能的子集，必须留意要考察的事件。
笛卡尔积：全体A、B的有序集对（a，b）
幂集：集合所有子集的集合
